VI. Torricelliho vzorec - řešené příklady

Zápis
D = 1 m
h = 10 m
Q = ?

Torricellivo vzorec můžeme snadno odvodit z Bernoullivo rovnice
h₁ + p₁ / (ⲣ x g) + v₁² / (2 x g) = h₂ + p₂ / (ⲣ x g) + v₂² / (2 x g)
h₁ = 10 m, p₁ = v₁ = 0, h₂ = p₂, v₂ = ?
h₁ = v₂² / (2 x g)
Po úpravě:
v₂ = √2 x h x g   = √2 x 10 x 9,81   = 14,01 m/s

Nyní již jen vynásobíme průřez otvoru s rychlostí
S = D² x π / 4 = 0,30² x π / 4 = 0,0707 m²
Q = S x v = 0,0707 x 14,01 = 0,991 m³/s

Průtok z otvoru je 0,991 m³/s

Zápis
V = 60 m^{3
D_dna = 4 m
D_otvoru = 10 cm = 0,1 m
t = ?}

Odvození vzorce pro času pro výtok vyžaduje integraci
Objem nádrže je popsán funkcí f = S_dna dh
Průtok, co proteče otvorem zase q = S_otvor x v dt
Vyjdeme-li ze vztahu pro rychlost odvozený v předchozím příkladu z Bernoullivo rovnice v = √2 x h x g   dostaneme:
q = S_otvor x √2 x h x g   dt
Množství vody, co ubude v nádobě a proteče otvorem musí být v rovnováze
S_dna dh = - S_otvor x √2 x h x g   dt
Upravíme:
- (S_dna dh) / (S_otvor x √2 x h x g  ) = dt
Nyní můžeme integrovat, výšku integrujeme od h₁ do h₂, to samé čás s₁ do s₂
-S_dna / (S_otvor x √2 x g  ) x ∫_h1^h₂ (dh / √h  ) = ∫ _t1^t₂ dt
(S_dna x 2 x √h₂  ) / (S_otvor x √2 x g  ) = t₂ - t₁
Po konečné úpravě dostaváme tento vztah:
t = (2 x S_dna x √h  ) / (S_otvor x √2 x g  )

Dosadíme do vztahu:
S_dna = D_dna² x π / 4 = 4² x π / 4 = 12,566 m²
S_otvor = D_otvor² x π / 4 = 0,1² x π / 4 = 7,853 x 10^-3 m²
h = V / S_dna = 60 / 12,566 = 4,775 m
t = (2 x 12,566 x √h  ) / (7,853 x 10^-3 x √2 x 9,81  ) = 1578,8 s = 26 min 19 s

Nádrže se bude prázdnin přibližně 26 min 19 s.